در جستجوی اسرار اعداد اول

تصور کنید قرار است ثابت کنید تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارند که تفاضل آنها دو واحد است. به جای آن ثابت می‌کنید تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارد که تفاضل آنها کمتر از ۷۰ میلیون رقم است. آیا فکر می‌کنید این شکستی مفتضحانه است و بهتر است درباره آن سکوت کنید؟ اگر این طور فکر می‌کنید چیزی از دنیای شگفت‌انگیز ریاضیات نمی‌دانید.

Spiral staircase

اگر داستان آلیس در سرزمین عجایب را خوانده باشید حتما با لانه خرگوش آشنا هستید. آلیس، در یک عصر تابستانی خرگوشی را دنبال می‌کند و به دنبال او قدم به لانهاش می‌گذارد و بلافاصله جهانش تغییر می‌کند، هیچ‌چیز آن طوری نیست که به نظر می‌آمد باید باشد. در این دنیا اولویت‌ها و منطق‌ها و رفتارها تغییر می‌کند. آلیس همان آلیس است، اما با قدم نهادن در لانه خرگوش دیدش به جهان تغییر می‌کند و از دل آن است که می‌تواند جهان‌های جدیدی را نه تنها برای خود کشف کند که خوانندگان این داستان را به کشف دنیایی فراسوی روزمرگی راهنمایی کند. 
این لانه افسانه‌ای خرگوش فقط زاییده ذهن ریاضی‌دانی با نام مستعار لوییس کرول نیست که داستانی را هنگام قایق‌رانی برای شاگردش تعریف کرده است. در دنیای واقعی دروازه‌های زیادی وجود دارد که وقتی قدم به آن بگذارید دنیای متفاوتی در برابر چشمان شما شکل می‌گیرد؛ دنیایی که اگر بیش از اندازه به روزمرگی معتاد شده باشید به همان اندازه برایتان شگفت‌انگیز و معجزه‌آسا خواهد بود. ریاضیات یکی از این حفره‌های جادویی جهان است، دنیایی برآمده از منطق که تفسیرگر جهان ماست و رشد و پیشرفتش و فضا و ساختارش ساز و کار ویژه خود را دارد. وقتی به این دنیا وارد می‌شوید آن‌چه در ابتدای این متن خواندید دیگر شکست به شمار نمی‌رود بلکه موفقیتی تاریخی و یکی از مهم‌ترین کشف‌های ریاضیاتی معاصر بدل می‌شود.

 

امن‌ترین اعداد جهان
زمانی کارل گاوس ریاضیات را ملکه علوم و نظریه اعداد را ملکه ریاضیات نامیده بود. شاید اگر اعداد اول را از محترم ترین ساکنان قلمرو این ملکه بشماریم سخنی به زیاده نگفته باشیم. اعداد اول اعداد مهمی هستند. نه فقط به این دلیل که امروز بخش بزرگی از اطمینانی که ما به رمزنگاری در کارهای روزمره داریم (مانند تراکنش‌های بانکی یا خرید‌های اینترنتی با کمک کارت‌های اعتباری) به خاطر استفاده از این اعداد است، بلکه به دلیل ماهیت و جایگاهی که در بین اعداد طبیعی دارند مهم به شمار می‌روند. اعداد طبیعی همان اعداد آشنایی هستند که هنگام شمارش به کار می‌بریم، از یک شروع می‌شوند و به ترتیب هر بار یکی به آنها افزوده می‌شود و مجموعه ای مانند …و۳و۲و۱ می‌سازند که به طور نامتناهی ادامه می‌یابد. در این بین بعضی از اعداد وجود دارند (غیر از ۱) که فقط می‌توان آنها را به خودشان و به ۱ تقسیم کرد. مثلا شما عدد ۶ را می‌توانید به ۱، ۲، ۳ و ۶ تقسیم کنید و باقی مانده شما صفر شود؛ اما عددی مانند ۳ فقط قابل تقسیم به ۳ و ۱ است همین‌طور عددی مانند ۱۱ و ۱۷ یا ۱- ۲۱۹۵,۰۰۰× ۲,۰۰۳,۶۶۳,۶۱۳  و ۱+ ۲۱۹۵,۰۰۰× ۲,۰۰۳,۶۶۳,۶۱۳ چنین اعداد طبیعی را که تنها قابل تقسیم بر خود و یک هستند، اعداد اول می‌نامند.

شما به راحتی می‌توانید چندین عدد اول را بشمارید، ۲،۳،۵،۷،۱۱،۱۳،۱۷،۱۹،۲۳و … اما هرچقدر اعداد طبیعی بزرگ‌تر می‌شوند فراوانی و یا چگالی (تعداد اعداد اول در یک فاصله مشخص) نیز کاهش می‌یابد. هنوز فرمولی پیدا نشده که بتواند اعداد اول را تولید کند و هنوز دقیق نمی‌دانیم که توزیع این اعداد در بین اعداد طبیعی چگونه است. آیا با اضافه شدن به اعداد طبیعی ممکن است به جایی برسیم که فاصله میان دو عدد اول متوالی نیز به سمت بی نهایت میل کند و به جایی برسیم که هیچ دو عدد اول نزدیک به همی را نتوانیم پیدا کنیم؟

 

یک فرض قدیمی
یک فرض قدیمی باعث می‌شود ریاضی‌دان‌ها خوش‌بین باشند که چنین اتفاقی نمی‌افتد. این فرض که قدمت آن به دوران اقلیدس (سده سوم پیش از میلاد) می‌رسد، بیان می‌کند که تعداد نامتناهی زوج عدد اول (دو عدد اول) وجود دارند که فاصله آنها تنها دو واحد است. مثلا ۳ و ۵ را در نظر بگیرید این دو عدد هر دو اول هستند و تنها دو واحد با هم فاصله دارند. ۱۱ و ۱۳ نیز همین ویژگی را دارند همین‌طور ۱۷ و ۱۹ و همینطور دو رقم  ۱- ۲۱۹۵,۰۰۰× ۲,۰۰۳,۶۶۳,۶۱۳ و ۱+ ۲۱۹۵,۰۰۰× ۲,۰۰۳,۶۶۳,۶۱۳. حال سوال اینجاست که آیا چنین زوج اعدادی را می‌توان وقتی اعضای رشته اعداد طبیعی به اندازه کافی بزرگ باشند هم پیدا کرد؟ اگر این طور باشد باید تعداد نامتناهی از این زوج اعداد وجود داشته باشد. 

این فرض هنوز هم یکی از قدیمی‌ترین مسایل حل نشده ریاضیات است. علت این‌که به آن حدس می‌گویند، این است که اگرچه تا الان ریاضی‌دان‌ها نتوانسته‌اند وجود تعداد نامتناهی از این زوج‌ها را ثابت کنند، نتوانسته‌اند عدم وجود آنها را نیز ثابت کنند و در عین حال آن مقداری از اعداد اول را که پیدا کرده‌اند در بردارنده چنین زوج اعدادی هستند. چون در ریاضیات یا یک گزاره درست است و یا نیست؛ پس تا زمان اثبات و یا رد منطقی و ریاضی، این گزاره به عنوان فرض باقی می‌ماند. 
تلاش‌ها برای بررسی این وضعیت و رسیدن به نتیجه ای مناسب در سال ۲۰۰۵/۱۳۸۴ به اوج خود رسید. در این سال دنیل گلدستون از دانشگاه سن‌خوزه به همراه دو همکارش با انتشار مقاله‌ای نشان دادند تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارد که فاصله آنها حداکثر ۱۶ واحد است. این گام بزرگی به شمار می‌رفت و می‌توانست ریاضی‌دان‌ها را در رسیدن به اثباتی برای نشان دادن وجود تعداد نا‌متناهی زوج عدد اول با فاصله دو رقمی امیدوار کند؛ اما در این اثبات از فرض دیگری استفاده شده بود که خود آن فرض هنوز اثبات نشده است.

 yitang-zhang

یک جهش بزرگ
به گزارش نیچر
، وقتی ایتانگ ژانگ (Yitang Zhang ) ریاضی‌دان دانشگاه نیوهمپ‌شایر نتیجه تحقیق خود را برای گروهی از همکارانش ارایه کرد و وقتی که ریاضی‌دان‌های پیشرو در این زمینه مقاله وی را مشاهده کردند، این احتمال مطرح شد که گام غول‌آسایی در حل این مساله تاریخی و مهم ریاضیاتی برداشته شده باشد. به نظر می‌آید او بدون آن‌که از هیچ فرض تاییدنشده‌ای کمک گرفته باشد و بدون آن‌که ایراد و نقص آشکاری در روش کارش مشاهده شود، توانسته است ثابت کند که تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارند که حداکثر فاصله آنها از هم ۷۰ میلیون واحد است.

شاید به نظر خیلی امیدوارکننده نباشد وقتی به دنبال زوج اعدادی با اختلاف دو واحد باشید و به جای آن به تفاوت ۷۰ میلیون واحدی مواجه می‌شوید؛ اما به یاد داشته باشید شما در دنیای شگفت‌انگیز ریاضیات هستید. مدتهاست از آستانه لانه خرگوش عبور کرده‌اید و باید قوانین این دنیا را بپذیرید. اگر این روش از پس بررسی‌های دقیق ریاضی‌دانان سربلند خارج شود، موفقیتی بزرگ به شمار می‌رود. درست است که ۷۰ میلیون واحد فاصله به نظر خیلی زیاد می‌آید، اما درنهایت فاصله‌ای معنی‌دار و محدود است؛ یعنی ما توانسته‌ایم تعداد نامتناهی زوج عدد اول پیدا کنیم که فاصله میان آنها کمتر از مرزی مشخص است. این مرز اکنون به نظر می‌رسد ۷۰ میلیون باشد. 
گلدستاین که خودش در تحقیق اخیر نقشی نداشته اما یکی از ریاضی‌دان‌های فعال در زمینه اعداد اول است، می‌گوید: «انتظار ندارم این روش را بتوان به گونه‌ای به کار برد که در نهایت ما را به صورت اصلی فرض که زوج اعداد با فاصله دو رقم است برساند. اما واقعیت این است که باورم نمی‌شد در زمانی که زنده هستم شاهد چنین پیشرفتی باشم.»
این اثبات (اگر تایید شود) در نهایت دید بهتری نسبت به توزیع اعداد اول در اختیار ریاضی‌دان‌ها قرار می‌دهد و به شناخت آنها از اعداد اول کمک می‌کند. شاید بپرسید این‌ها به چه کار روزمره ما می‌آید؟ شاید برای کسانی که بیرون لانه خرگوش ایستاده‌اند و مشغول خواندن روزنامه‌ای از خبرهای روز هستند، کارآیی نداشته باشد اما این ریاضی‌دانان هستند که در ناب‌ترین شکل ممکن به بررسی و کشف ساختمان موجودی مشغولند که جهان ما و دنیای ما و اندیشه ما براساس آن بنا شده است.

* این مطلب به سفارش خبرآنلاین نوشته شد و نخستین بار در صفحه دانش آن منتشر شد.

۱۹ نظر

  1. عباس می‌گه:

    سلام
    دست شما درد نکنه
    نوشتن یک همچین مقاله جذابی برای یک موضوع خشک ریاضی
    هنر می خواهد و واقعا شما هنرمند هستید
    منون

  2. حمید می‌گه:

    so thanks for this elegant post

  3. ممنون از مطلب زیبایی که نوشتید.

    آقای ناظمی شما فرمودید: “هنوز فرمولی پیدا نشده که بتواند اعداد اول را تولید کند.” آیا منظورتان این است فرمولی که “تمام” اعداد اول را تولید کند وجود ندارد یا فرمولی که “فقط” عدد اول تولید کند وجود ندارد. همانطور که خودتان هم می دانید زمانی فرما فرمول f(n)=2^(2^n)+1 را کشف کرد و چون مشاهده کرد این فرمول به ازای n = 0 , 1 , 2, 3 , 4 اعداد اول ۳ , ۵ , ۱۷ , ۲۵۷ , ۶۵۵۳۷ را تولید می کند نتیجه گرفت فرمول او به ازای تمام n های حسابی (یعنی اعداد طبیعی و صفر) همواره عدد اول تولید می کند. البته برای این که فرما به اشتباهش پی می برد کافی بود فرضیه ی خود را یک گام دیگر ادامه می داد و فرمول خود را به ازای n = 5 نیز امتحان می کرد. در این صورت به عدد میلیاردی ۴۲۹۴۹۶۷۲۹۷ می رسید که بر عدد اول ۶۴۱ بخش پذیر است!

    یا به عنوان مثالی دیگر فرمول f(n)=n^2+n+41 که به سه جمله ای اویلر معروف است اعداد اول بیشتری تولید می کند (مثلاً از n=-40 تا n=39 این فرمول ۸۰ عدد اول تولید می کند) اما به ازای برخی اعداد صحیح مثل n=-41 یا n=40 تولید اعداد اول متوقف شده و عددی مرکب به دست می آید.

    حال می خواستم از شما بپرسم آیا تا کنون فرمولی کشف نشده که به ازای تمام n های طبیعی (یا صحیح) همواره عدد اول تولید کند؟

  4. امیر نقی پور می‌گه:

    سلام در خبرها آمده بودکه:
    در ۲۵ ژانویهٔ ۲۰۱۳ بزرگ ترین عدد اول توسط کرتیس کوپرآمریکایی شناسایی و معرفی شد با بیش از ۱۷ میلیون رقم
    و به شکل ۲ به توان ۳۲ میلیون و ۵۸۲ هزار و ۶۵۷
    منهای ۱
    که در نوع خودش جالب هست
    حتما” سری به سایت prime curios بزنید که در آن بعضی خصوصیات جالب مرتبط با اعداد اول را خواهید دید مخصوصن با کارهای خانم دکتر فریده فیروزبخت استاد دانشگاه اصفهان در این خصوص آشنا خواهید شد
    پیشنهاد می کنم حتما علاقمندان سری به سایت c

  5. مهدی می‌گه:

    ممنون.
    جناب ناظمی درباره قضایا و حدس های ریاضی که صورت ساده ای دارند ولی کماکان لاینحل باقی مانده اند و جنبه تاریخی هم دارند، برایمان بیشتری بنویسید. زیرا خیلی جالب هستند.

  6. سمیه کرمی می‌گه:

    سپاس.
    کم پیش می‌آد من متنی که درباره‌ی ریاضی نوشته شده تا آخر بخونم و بفهمم چی خوندم(این بخش دوم مهم‌تره) ولی خب خوندم و فهمیدم.
    باورم نمی‌شه تو ریاضیات چیزی داشته باشیم که جوابش معلوم نباشه. یعنی ندونیم که اعداد اول یه جایی تموم می‌شن یا نه.

    • امیر نقی پور می‌گه:

      سلام
      خانم کرمی
      حدس گلدباخ پس از ۲۷۱ سال اثبات شد
      هنوز مسایل زیاذی هست که تو ریاضیات لاینحل مانده اند

    • خانم کرمی در واقع طبق اثبات اقلیدس با اطمینان می تونیم بگیم که اعداد اول هیچ موقع تموم نمی شه!

      • 77 می‌گه:

        شایدهم تموم بشه چون فقط ذات خداست که تموم نمیشه.جهت اثبات این ادعایک نظریه با اثبات ریاضی هندسی براتون میگم:هرچه قدراعدادبزرگتر می شوند تعداد اعداداول کمتر می شوند.دلیلش هم به وجود آمدن شکل هندسی مستطیل میباشد.(کلمه مستطیل یک رمز،جهت راهنمایی:عدد۷۷یعنی ضرب دوعدداول درهمدیگر۷و۱۱،پس هرچه قدرجلوتربریمم تعداداعدادبیشتر وتعداد ضرب آنها دریکدیگر بیشتر میشود درنتیجه تعداداعداداول کمترخواهدشد.)ولی این تازه اول راهه،فرمول تمام اعدادغیراول پیش من،ولی به دلیل حفظ اطلاعات امنیتی نتونستم اونوروسایت بزارم ولی دوست دارم این علم ودراختیاردنیای ریاضیات بزارم.باتشکر.

  7. محمد می‌گه:

    با سلام

    “نه فقط به این دلیل که امروز بخش بزرگی از اطمینانی که ما به رمزنگاری در کارهای روزمره داریم (مانند تراکنش‌های بانکی یا خرید‌های اینترنتی با کمک کارت‌های اعتباری) به خاطر استفاده از این اعداد است”
    به نظرم تشریح همین جمله می تونه موضوع یه پسته دیگه باشه که خوانندگان معمولی رو به دنیای ریاضیات علاقه مند تر کنه

    باتشکر

  8. سعید می‌گه:

    ممنون. بسیار عالی. موضوعات پایه ریاضی و مخصوصا تاریخ آن بسیار جذاب است.

  9. رها می‌گه:

    سلام
    باتشکر از نوشته ی جذابتون
    من امسال کنکور دادم و در حال حاضر مشغول تحقیق درباره ی رشته هایی هستم که میتونن نظر منو برای ادامه تحصیل در دانشگاه جلب کنن.
    در واقع تصمیم دارم در آینده ژورنالیسم علم و البته در حالت ایده آل برنامه سازی علم رو دنبال کنم…ممنون میشم به عنوان کسی که تجربه ی این موضوع رو دارید، من رو در این زمینه راهنمایی کنید..هرچی بررسی میکنم،تنها رشته هایی که شاید بتونن به من کمکی بکنن”فیزیک”و”ریاضی”هستن.ممکنه ازتون خواهش کنم که شمابه عنوان یه دانش اموخته ی ریاضیات بگیدبه نظرتون این رشته برای هدف من راهگشاهست یانه؟
    پیشاپیش متشکرم

  10. behnam می‌گه:

    ولی من آخرش نمی فهمم فایده ی این کارها چیه؟
    بالاخره فقط که نباید جنبه ی تئوری داشته باشند،و گرنه اگه اینطور باشه رباضیدانانی که روی مباحثی اینچنین کار میکنن از بی فایده ترین و سربارترین افراد کره زمین هستند.

  11. 77 می‌گه:

    جهت اثبات این ادعایک نظریه با اثبات ریاضی هندسی براتون میگم:هرچه قدراعدادبزرگتر می شوند تعداد اعداداول کمتر می شوند.دلیلش هم به وجود آمدن شکل هندسی مستطیل میباشد.(کلمه مستطیل یک رمز،جهت راهنمایی:عدد۷۷یعنی ضرب دوعدداول درهمدیگر۷و۱۱،پس هرچه قدرجلوتربریمم تعداداعدادبیشتر وتعداد ضرب آنها دریکدیگر بیشتر میشود درنتیجه تعداداعداداول کمترخواهدشد.)ولی این تازه اول راهه،فرمول تمام اعدادغیراول پیش من،ولی به دلیل حفظ اطلاعات امنیتی نتونستم اونوروسایت بزارم ولی دوست دارم این علم ودراختیاردنیای ریاضیات بزارم.باتشکر.

  12. farnoosh می‌گه:

    معمولا ریاضی ها حوصله مقاله نویسی ندارن.ممنون از شما که این وقتو گذاشتین

  13. @ می‌گه:

    دو عدد اول متوالی؟؟؟؟؟؟؟ ❤ ❤ ❤ ❤ ❤ ❤ ❤ ❤

  14. خورشید می‌گه:

    خیلی خوبه ولی نکته و مطلب و مثال کم داره لطفا این را در سایت قرار بدهید

  15. مبینا می‌گه:

    خیلی عالیه.متشکرم

نظرتان را بنویسید