زمانی که دنیس سولیوان سال دوم دوران دانشجویی خود را سپری می‌کرد با قضیه‌ای ریاضیاتی روبرو شد که سرنوشت او و جهان ریاضیات را تغییر داد. او با این مواجهه بود که رشته خود را از مهندسی شیمی به ریاضیات تغییر داد و در طی سال‌ها و دهه‌های بعدی برای مدت‌های طولانی بر روی مسائلی کار کرد که او را مجذوب خود می‌کرد. به گفته سولیوان بینش ریاضیاتی که همچون قطعه‌ای موسیقیایی عام، زیبا و دارای قدرت مجذوب‌کنندگی باشد به یکی از راهنماهای اصلی او برای انتخاب مسائلی بدل شد که  گاه سال‌ها و دهه‌ها وقت او را به خود مصروف می‌کردند.

اتو حالا ریاضیدانی است که در دانشگاه‌های استونی بروک و دانشگاه شهر نیویورک فعالیت می‌کند و فعالیت‌هایش در زمینه توپولوژی و سیستم‌های دینامیک باعث شده است تا بینش تازه‌ای نسبت به این موضوعات به وجود آید.

به دلیل همین مطالعات هم بود که امسال جایزه ابل که یکی از مهم‌ترین جوایز دنیای ریاضیات است به او اهدا شد. در بیانیه کمیته اهدای جایزه ابل آمده است این جایزه به دلیل فعالیت‌های سدشکن او در عرصه توپولوژی – که دانش مطالعه و طبقه‌بندی اشکال است – و توانایی او در رمزگشایی از بسیاری از مسائل ریاضیاتی با کمک نگاه به آن‌ها از دریچه پنجره هندسه به او اهداشده است.  هانس مونته کاس دبیر کمیته جایزه ابل درباره او معتقد است که سولیوان یکی از تأثیرگذارترین شخصیت‌ها در توپولوژی مدرن از دهه ۱۹۶۰ به این‌سو است.»

یکی از حوزه‌هایی که سولیوان بخش عمده‌ای از زندگی حرفه‌ای خود را به وقف آن کرده، تلاش برای درک فضاهای توپولوژیکی به نام منیفولدها است. منیفولدها فضاهایی هستند که از هر نقطه‌ای روی آن که به آن نگاه کنید به نظر مسطح (شبیه به صفحه مختصات عادی) می‌آیند اما دارای ویژگی‌های پیچیده‌تری هستند. برای مثال سطح یک کره (مثل سطح کره زمین) را در نظر بگیرید. شما از هر نقطه‌ای روی زمین به این سطح نگاه کنید به‌ظاهر با سطح مسطحی سروکار دارید اما درواقع این سطح بخشی از یک کره است.

سطح روی یک سطح دونات مانند هم یکی دیگر از نمونه‌های منیفولدهای دوبعدی است.

اما چنین سطوحی را می‌توان در ابعاد بالاتر نیز تصور کرد و این کاری است که سولیوان انجام داده است. او به‌طور خاص طبقه‌بندی کاملی از منیفولدهای ویژه‌ای در فضای پنج بعدی یا بالاتر ارائه کرده است. او همین‌طور تلاش عظیمی برای پیش برد تقسیم و خُرد کردن منیفولدها به قطعات سه‌گوش کوچک‌تر انجام داده است. او برای اینکه بتواند این دو هدف را پیش ببرد حوزه‌ای را توسعه داده است که به نام نظریه جراحی شناخته می‌شود نظریه‌ای که در آن با بریدن و دوباره کنار هم چسباندن بخش‌هایی از یک منیفولد آن را به منیفولد دیگری بدل می‌کنید.

بخشی از تفکرات اولیه او در مجموعه‌ای از یادداشت‌ها که در دهه ۱۹۷۰ منتشرشده بود ریشه دارد. او در آنجا سعی کرده بود به این مساله بپردازد که داشتن فضایی که دارای توپولوژی یک منیفولد باشد، وقتی از چشم‌انداز دیگری به آ ن نگاه می‌شود، واقعاً به چه معنی است.

اغلب اوقات برای مطالعه یک شکل توپولوژیک، ریاضی‌دانان آن‌ها را به اشیا جبری تفسیر می‌کنند. این بازنمایی جبری از این اشکال را گروه‌های هوموتوپی می‌نامند که ویژگی‌های اصلی آن شکل توپولوژیک را در خود دارند. با کمک چنین گروه‌هایی ریاضی‌دانان می‌توانند برای مثال به بررسی این موضوع بپردازند چطور می‌توان تقاطع‌ها یا حلقه‌های یک‌شکل را در فضا بازآرایی کرد. اما محاسبات مربوط به این گروه‌های جبری فوق‌العاده دشوار است. سولیوان به توسعه روشی کمک کرد که مشخص می‌کند در کجاها می‌توان چنین اطلاعاتی را به بسته‌های کوچک‌تری خرد کرد به شکلی بتوان هرکدام از این بسته‌ها را به‌طور مستقل مورد استفاده قرار داد. بدین ترتیب امکان انجام محاسبات مربوط به منیفولد ساده‌تر می‌شود و با کمک بررسی بخش‌های مجزا می‌توانید درک بهتری از منیفولد موردنظر خود داشته باشید.

برای این منظور سولیوان مفهوم تقسیم منیفولدها را ابداع کرد به این معنی که حلقه‌هایی که در منیفولد اصلی وجود دارد را می‌توان به دو یا سه یا تعداد بیشتری حلقه تقسیم کرد. این کار شکل و ظاهر منیفولد شما را به‌شدت پیچیده‌تر از قبل می‌کند اما در عوض این فرصت را به شما می‌دهد که با گروه‌های هوموتوپی متناظری سروکار داشته باشید که به‌جای اعداد صحیح با اعداد کسری سروکار دارند. به گفته سولیوان وقتی در جبر شما با اعداد کسری سروکار دارید و نوبت به شمارش می‌رسد، زندگی برایتان راحت‌تر می‌شود  و چنین ویژگی برای اثبات برخی از ویژگی‌های این فضاها کمک‌کننده خواهد بود.

بینش ریاضیاتی زیبا و گیرا مانند قطعه موسیقی است که یک باره شما را به خود جذب می‌کند

به گفته اشمیل واینبرگ ریاضی‌دان دانشگاه شیکاگو، چنین کاری فعال کردن یک روش و منظومه تازه در بررسی این موجودات ریاضیاتی است و شبیه کاری است که در ژنتیک یا شیمی انجام می‌دهید و با خرد کردن اجسام به اجزا سازنده که ظاهری بسیار متفاوت از شی اولیه دارند می‌توانید اطلاعات زیادی درباره شکل نخستین خود به دست آورید.

با کمک این روش سولیوان نشان داد برخی از ویژگی‌ها نظیر تقارن در این بخش‌های تجزیه‌شده نیز وجود دارند و با استفاده از آن توانست  بخشی از مسائل اساسی در این رشته را حل کند.

او همچنین در دهه ۱۹۷۰ و به‌طور مستقل از دنیل کوییلین موفق به‌صورت بندی نظریه هوموتوپی گویا شد. راهی که به کمک آن می‌شد برخی از اطلاعات مربوط به توپولوژی یک منیفولد  را نادیده گرفت تا بتوان ویژگی‌های باقی‌مانده را به روشی ساده‌تر و مؤثرتر بسته‌بندی کرده و دنبال کرد. این تلاش هم درواقع ناشی از این واقعیت بود که گروه‌های هوموتوپی در شرایط عادی به شردت پیچیده هستند و محاسبات مربوط به آن فوق‌العاده دشوار است.

اگرچه سولیوان هر دو این تلاش‌های خود را تمرینی مهیج برای درک فضاها ارزیابی می‌کند اما ریاضی‌دانان دیگر آن را چون نسیم فرح بخشی بر پیکر ساختاری پیچیده می‌دانند و آن را با اثری هنری مقایسه می‌کنند.

در دهه ۱۹۸۰ تقریباً تمام‌وقت سولیوان را کار روی منیفولدها از چشم‌اندازی بیرونی به خود اختصاص داده بود. زاویه دیدی عمومی و بیرونی که بر اساس تعریف بر این مبنا استوار بود که منیفولدها هیچ ویژگی محلی ندارند. سطوحی که هیچ بافت یا پوستی ندارند و از هر جایی که به آن بنگری شبیه هم هستند.

اما سولیوان به دنبال پیدا کردن آن ویژگی‌ها و مشخصات محلی درون منیفولدها بود و همین هم باعث شد تا او توجهش را به سیستم‌های دینامیک معطوف کند. حوزه‌ای که به بررسی حرکت روی یا درون یک فضا می‌پردازد. به گفته سولیوان «یک سیستم دینامیکی دارای بافت مختلفی در بخش‌های مختلف یک منیفولد است و آن زمان دنیایی تازه به شمار می‌رفت.»

در آن بازه زمانی علاقه به مطالعه روی دینامیک‌های پیچیده‌ای که ممکن بود حتی از دل معادلات ساده بیرون بیایید احیا شده بود.

برای مثال تابع f(z) = z² + ۱ را در نظر بگیرید. به‌جای z عددی مختلط (که از یک بخش حقیقی و یک بخش موهومی تشکیل‌شده است) را به این تابع وارد کنید. حالا جوابی را که به دست مکی آورید به‌جای ورودی دوباره وارد این تابع کنید و این کار را ادامه دهید. با رسم نتایج این تابع شما مسیری فرکتالی را درون صفحه اعداد مختلط خواهید به دست می‌آورید.

سولیوان موفق شد حدسی ۶۰ ساله را اثبات کند  که نشان می‌داد نقاط (و دامنه‌های اطراف آن) در چنین سیستم‌هایی درنهایت به نقطه آغازین خود بازمی‌گردند و پراکندگی اشان نامتناهی نیست.

او در تلاش برای تفسیر سیستم‌های دینامیکی و ازجمله برای توضیح برخی از ویژگی‌ها زیرین برخی از سیستم‌های آشوبناک میان دو حوزه به‌ظاهر متمایز و مستقل ریاضیات پیوندی ایجاد کرد: مطالعه سیستم‌های دینامیکی که به‌واسطه توابع تکرارشونده به وجود می‌آیند و مطالعه گروه‌های متقارن که نقش نوعی از فضاها را بازی می‌کنند. با ایجاد این ارتباط سولیوان هر دو حوزه را تغییر داد.

در ابتدای دهه ۲۰۰۰ او بار دیگر به تماشای از بیرون ویژگی‌های توپولوژی برگشت که فعالیت حرفه‌ای‌اش را بر آن مبنا آغاز کرده بود. در این مقطع بود که او به همراه موریا چَس ریاضیدان دانشگاه استونی بروک روش تازه‌ای را برای طبقه‌بندی منیفولدها بر اساس حلقه‌ها و مسیرهای موجود روی سطوحشان ارائه کرد.

او حالا در تلاش  است تا دو حوزه‌ای که بیشترین وقتش را بر آن‌ها صرف کرده است یعنی منیفولدها و سیستم‌های مکانیکی را به شکلی نامحسوس‌تر به هم پیوند دهد. و برای همین مشغول مطالعه جریان شاره معادلاتی است که بتواند رفتار آن‌ها را از دیدگاهی توپولوژیک پاسخ دهد.

مونته کس درباره او می‌گوید: «مطمئن نیستم سولیوان مرزهای بین بخش‌های مختلف ریاضیات را مثل بقیه ما ببیند.»

دنیس سولیوان ۸۱ ساله متولد سال ۱۹۴۱ است و دو سال پیش موفق شده بود جایزه ولف را به خود اختصاص دهد.

او بیست و پنجمین ریاضی‌دانی است که جایزه ابل را به خود اختصاص داده است. جایزه‌ای که به همراه مدال فیلدز دو جایزه مهم دنیای ریاضیات به شمار می‌روند. مدال فیلدز به ریاضی‌دانان زیر چهل سال اهدا می‌شود اما جایزه ابل بیشتر برای یک‌عمر تلاش در راه ریاضیات به افراد اهدا می‌شود.

—

توضیح: بخش بزرگی از این نوشته از مقاله جوردانا سپلویچ در مجله آنلاین کوانتا برداشت شده است